Question

13．如图，由曲线y=x²和直线y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用定积分表示出阴影部分的面积，计算定积分得到关于t的式子，求最小值．

解答 解：由曲线y=x²和直线y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所围成的图形（阴影部分）的面积为：S=${∫}_{0}^{t}（{t}^{2}-{x}^{2}）dx+{∫}_{t}^{1}（{x}^{2}-{t}^{2}）dx$=（t²x-$\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{t}$+（$\frac{1}{3}{x}^{3}$-t²x）|${\;}_{t}^{1}$=$\frac{2}{3}{t}^{3}+\frac{1}{3}-{t}^{2}+\frac{2}{3}{t}^{3}$=$\frac{4}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{1}{3}$，
令S'=4t²-2t=0，解得t=$\frac{1}{2}$或t=0，而0＜t＜1，所以当t=$\frac{1}{2}$时，阴影部分的面积最小为$\frac{1}{4}$；
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了定积分的应用，关键是正确利用定积分表示阴影部分的面积．