Question

3．函数f（x）=x²+（2-6a）x+3a²
（1）若函数对于任意的x总有f（2-x）=f（2+x）成立，求a的值．
（2）若函数在区间（5，6）上单调递增，求a的取值范围；
（3）当x∈[0，1]时，求函数的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据图象的对称轴是x=2，解出a的值即可；（2）根据函数的单调性得到不等式，解出即可；（3）通过讨论对称轴的范围，从而求出函数的最小值．

解答 解：（1）若函数对于任意的x总有f（2-x）=f（2+x）成立，
则x=-$\frac{（2-6a）}{2}$=3a-1=2，解得：a=1；
（2）若函数在区间（5，6）上单调递增，
则对称轴x=3a-1≤5，解得：a≤2；
（3）对称轴x=3a-1＜0时，即a＜$\frac{1}{3}$时，f（x）_min=f（0）=3a²，
对称轴x=3a-1在[0，1]，即$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{2}{3}$时，f（x）_min=f（3a-1）=6a-3，
对称轴x=3a-1＞1，即a＞$\frac{2}{3}$时，f（x）_min=f（1）=3a²-6a+3．

点评 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，是一道中档题．