Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l与C相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S_k，证明：S₁=S₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离心率及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切求出a，b，从而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出|AB|的距离，表示出△OAB的面积，利用基本不等式求最值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，e²=（$\frac{c}{a}$）²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
则a²=2b²；
又∵原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切，
则b=$\frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}$=1，
∴b²=1，a²=2；
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+m，k=1或2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
所以△=16k²-8m²+8＞0（*）
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$•$\sqrt{8（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$，
由原点O到直线y=kx+m的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$$\sqrt{{m}^{2}（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$，
当k=1时，由S_△AOB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$，
当m²=$\frac{3}{2}$时，S_△AOB的面积的最大值为S₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，验证（*）成立；
当k=2时，由S_△AOB=$\frac{\sqrt{2}}{9}$$\sqrt{{m}^{2}（9-{m}^{2}）}$，
当m²=$\frac{9}{2}$时，S_△AOB的面积的最大值为S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，验证（*）成立．
即有S₁=S₂．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式求最值，属于中档题．