Question

18．（本题只限理科学生做）
已知两定点A（2，5），B（-2，1），M（在第一象限）和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|=2$\sqrt{2}$，l∥AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求点C的坐标．

Answer 1

分析 由点A、B的坐标并利用斜率公式得k_AB=1，求出l的方程，设M（a，a）（a＞0），N（b，b），利用$|MN|=2\sqrt{2}$，求出|a-b|=2，得C的坐标为$（0，\frac{3a}{a-2}）$与$（0，\frac{3b}{b+2}）$求解即可．

解答 （理）
解：由两定点A（2，5），B（-2，1），得k_AB=1，于是k₁=1，从而l的方程为y=x，…（2分）
设M（a，a）（a＞0），N（b，b），由$|MN|=2\sqrt{2}$，得$\sqrt{{{（a-b）}^2}+{{（a-b）}^2}}=2\sqrt{2}$，
故|a-b|=2…（4分）
直线AM的方程为：$y-5=\frac{a-5}{a-2}（x-2）$，令x=0，则得C的坐标为$（0，\frac{3a}{a-2}）$
直线BN的方程为：$y-1=\frac{b-1}{b+2}（x+2）$，令x=0，则得C的坐标为$（0，\frac{3b}{b+2}）$…（9分）
故$\frac{3a}{a-2}=\frac{3b}{b+2}$，化简得a=-b，将其代入|a-b|=2，并注意到a＞0，得a=1，b=-1
所以点C的坐标为（0，-3）…（12分）

点评 本题考查直线方程的求法，交点坐标的求法，考查计算能力．