Question

3．已知函数$f（x）=\frac{ax+b}{{1+c{x^2}}}（c＞0）$是R上的奇函数，且$f（1）=1，f（2）=\frac{4}{5}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在R为奇函数便有，f（0）=0，从而得到b=0，而再由f（1）=1，f（2）=$\frac{4}{5}$即可求得a=2，c=1，从而求出f（x）；
（2）由单调性的定义，设1＜x₁＜x₂，通过作差，提公因式判断出f（x₁）＞f（x₂）即可．

解答 解：（1）据已知条件f（x）是R上的奇函数，f（0）=0，∴b=0；
∵$f（1）=1，f（2）=\frac{4}{5}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{1+c}=1}\\{\frac{2a}{1+4c}=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$；
解得a=2，c=1；
∴$f（x）=\frac{2x}{{1+{x^2}}}$；
（2）证明：设1＜x₁＜x₂，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2{x_1}}}{1+x_1^2}-\frac{{2{x_2}}}{1+x_2^2}$=$\frac{{2{x_1}（1+x_2^2）-2{x_2}（1+x_1^2）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}$=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}$；
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＜0，（x₁-x₂）（1-x₁x₂）＞0；
∴$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
所以f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数．

点评 考查奇函数的定义，知道函数f（x）在R上是奇函数时，f（0）=0，根据函数值能求函数解析式，单调减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，在作差后注意提取公因式．