Question

13．存在正实数b使得关于x的方程$sinx+\sqrt{3}cosx=b$的正根从小到大排成一个等差数列，若点 P（6，b）在直线mx+ny-2=0上（m，n均为正常数），则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． $5+2\sqrt{6}$
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $8\sqrt{3}$
• D． $7+4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出b，再确定3m+n=1，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值．

解答 解：由题意，b=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵存在正实数b使得关于x的方程$sinx+\sqrt{3}cosx=b$的正根从小到大排成一个等差数列，
∴b=2，
∵点 P（6，b）在直线mx+ny-2=0上，
∴6m+2n=2，
∴3m+n=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）（3m+n）=3+4+$\frac{n}{m}$+$\frac{12m}{n}$$≥7+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{12m}{n}}$=7+4$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查求$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值，考查基本不等式的运用，确定3m+n=1是关键．