Question

3．设F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则△PAF周长的最小值为$9+\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 求出右焦点H 的坐标，由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周长的最小值．

解答 解：∵F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦点，∴a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=4，F（-4，0 ），右焦点为H（4，0），
由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+$\sqrt{（4-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=4+5=9，
∵|AF|=$\sqrt{（1+4）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴△PAF周长的最小值为$9+\sqrt{41}$．
故答案为：$9+\sqrt{41}$．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF|+|PA|化为2a+|PH|+|PA|是解题的关键．