Question

14．如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且AC∥面EFGH，BD∥面EFGH，AC=2，BD=4，当EFGH是菱形时，$\frac{AE}{EB}$的值是$\frac{AE}{EB}$．

Answer 1

分析 由已知条件BEF∽△BAC，从而$\frac{BE}{BA}=\frac{EF}{AC}$，同理，得$\frac{DH}{DA}=\frac{HG}{AC}$，进而推导出△AEH∽△ABD，得$\frac{EH}{BD}$=$\frac{AE}{AB}$，同理得$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}$，由此能求出结果．

解答 解：∵AC∥平面EFGH，AC、EF在平面ABC内，
∴AC∥EF，∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{EF}{AC}$，
同理，得$\frac{DH}{DA}=\frac{HG}{AC}$，
又∵EF=HG，∴$\frac{BE}{BA}=\frac{DH}{DA}$，
∴EH∥BD，∴△AEH∽△ABD，
∴$\frac{EH}{BD}$=$\frac{AE}{AB}$，①，同理得$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}$，②
又∵EH=EF，∴①÷②得：$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AC}{BD}$，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查两条线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质的合理运用．