Question

19、已知：如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中点，F是AC，BD的交点．
求证：A₁F⊥平面BED．

Answer 1

分析：欲证A₁F⊥平面BED，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁F⊥平面BED内两相交直线垂直，取BC中点G，连接FG，B₁G，A₁F⊥BD，A₁F⊥BE，EB∩BD=B，满足定理条件．

解答：证明：AA₁⊥平面ABCD，AF是A₁F在面ABCD上的射影
又∵AC⊥BD，∴A₁F⊥BD
取BC中点G，连接FG，B₁G，
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，FG⊥平面BCC₁B₁，
∴B，G为A₁F在面BCC₁B₁上的射影，
又∵正方形BCC₁B₁中，E，G分别为CC₁，BC的中点，∴BE⊥B₁G，
∴A₁F⊥BE又∵EB∩BD=B，
∴A₁F⊥平面BED．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．