Question

【题目】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）过作，证明，再证明，可得，再由线面平行的判定可得平面；

（2）以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值.

（1）如图，过作，则，且，

又，，四边形为平行四边形，则，

由，为中点，得为中点，而为中点，

，，则四边形为平行四边形，则，

，

平面，平面，

平面；

（2）以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

设平面的一个法向量为，

由，取，得，

又平面MAA1的一个法向量为，

.

二面角的正弦值为.