Question

对于函数f（x），g（x），h（x），如果存在实数a，b，使得h（x）=af（x）+bg（x），那么称h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数．
（1）给出如下两组函数，试判断h（x）是否分别为f（x），g（x）的线性生成函数，并说明理由．
第一组：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)；
第二组：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）已知f（x）=log₂x，g（x）=log_0.5x的线性生成函数为h（x），其中a=2，b=1．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（3）已知f(x)=x，g(x)=

1

x

，x∈[1，10]的线性生成函数h（x），其中a＞0，b＞0．若h（x）≥b对a∈[1，2]恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于第一组：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)利用和角公式即可得到sin(x+

π

3

)=

1

2

sinx+

3

2

cosx，即h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数．
第二组：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．若h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数，则有：
存在实数a，b，使得x²-x+1=a（x²-x）+b（x²+x+1），利用关于a，b的方程组无解即可得出h（x）不为f（x），g（x）的线性生成函数．
（2）先得到h（x）=2log₂x+log_0.5x=log₂x，当x∈[2，4]时，1≤h（x）≤2，若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，利用换元思想结合二次函数的性质即可求得实数t的取值范围；
（3）由已知f(x)=x，g(x)=

1

x

，的线性生成函数h（x），其中a＞0，b＞0，可得h（x）=ax+

b

x

，再结合函数h（x）的性质利用恒成立问题的解法即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）第一组：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)；
若h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数，则有：
存在实数a，b，使得sin(x+

π

3

)=asinx+bcosx，
由于sin(x+

π

3

)=

1

2

sinx+

3

2

cosx故上式成立，
即h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数．
第二组：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
若h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数，则有：
存在实数a，b，使得x²-x+1=a（x²-x）+b（x²+x+1），
则：x²-x+1=（a+b）x²-（a-b）x+b，
∴

a+b=1 a-b=1 b=1

这是不可能成立的，
即h（x）不为f（x），g（x）的线性生成函数．
（2）已知f（x）=log₂x，g（x）=log_0.5x的线性生成函数为h（x），其中a=2，b=1．
则：h（x）=2log₂x+log_0.5x=log₂x，当x∈[2，4]时，1≤h（x）≤2，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
即-t＞3h²（x）+2h（x），即要求-t＞3h²（x）+2h（x）最小值即可，
-t＞5，∴t＜-5
∴实数t的取值范围t＜-5．
（3）由已知f(x)=x，g(x)=

1

x

，的线性生成函数h（x），其中a＞0，b＞0．
得：h（x）=ax+

b

x

，
若h（x）≥b对a∈[1，2]恒成立，
即ax+

b

x

≥b对a∈[1，2]恒成立，
b要小于等于ax+

b

x

的最小值即可，
即b≤2

ab

，即

b

≤2

a

，
由于a∈[1，2]，∴

b

≤2，得出：0＜b≤4
∴实数b的取值范围是0＜b≤4．

点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数恒成立问题、三角变换、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．