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    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，试写出y=φ（x）的解析式及值域；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由函数图象的变换可得 φ（x）=a2 （x-1）2 ，值域为[0，+∞）．
    （2）由题意可得（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，再由（1-a2） x2-2x+1＞0，求得实数a的
    取值范围．
    （3）设F（x）=f（x）-g（x）=
    1
    2
     x2-elnx，利用导数知识判断单调性，求出 x=
    		e
     时，F（x） 取得最小值0．
    设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y=kx+
    e
    2
    -k
    		e
    ，由 f（x）≥kx+
    e
    2
    -k
    		e
    ，对x∈R恒成立，求得k=
    		e
    ．
    再利用导数证明g（x）≤
    		e
    x    -
    e
    2
     （x＞0）恒成立，从而得到所求“分界线”方程．
    解答：解：（1）由题意可得 φ（x）=a2 （x-1）2 ，值域为[0，+∞）．  …（2分）
    （2）不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
    等价于（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，即 a＞1，
    ∴（1-a2） x2-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，
    所以
    1
    1-a
    ＜x＜
    1
    1+a
    ，又因为 0＜
    1
    1+a
    ＜1    ，
    所以 -3≤
    1
    1+a
    ＜-2    ，解之得 
    4
    3
    ≤a＜
    3
    2
    ．  …（6分）
    （3）设F（x）=f（x）-g（x）=
    1
    2
     x2-elnx，则 F′（x）=x-
    e
    x
    =
    (x-
    		e
    )(x+
    		e
    )
    x
    ．
    所以当 0＜x＜
    		e
     时，F′（x）＜0；当 x＞
    		e
     时，F′（x）＞0．
    因此 x=
    		e
     时，F（x） 取得最小值0，
    则 f（x）与g（x）的图象在x=
    		e
     处有公共点 （
    		e
    ，
    e
    2
    ）．   …（8分）
    设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y-
    e
    2
    =k（x-
    		e
    ），即 y=kx+
    e
    2
    -k
    		e
    ，
    由 f（x）≥kx+
    e
    2
    -k
    		e
    ，对x∈R恒成立，
    则 x2-2kx-e+2k
    		e
    ≥0 在x∈R恒成立．
    所以△=4k2-4（2k
    		e
    -e）=4(k-
    		e
    )    2    ≤0成立，因此 k=
    		e
    ．…（10分）
    下面证明 g（x）≤
    		e
    x    -
    e
    2
     （x＞0）恒成立．
    设G（x）=elnx-x
    		e
    +
    e
    2
    ，则 G′（x）=
    e
    x
    -
    		e
    =
    		e
    (
    		e
    -x)
    x
    ．
    所以当  0＜x＜
    		e
     时，G′（x）＞0；当  x＞
    		e
     时，G′（x）＜0．
    因此 x=
    		e
     时，G（x）取得最大值0，则 g（x）≤
    		e
    x    -
    e
    2
     （x＞0）成立．
    故所求“分界线”方程为：y=
    		e
    x    -
    e
    2
    ．　　　　　　　　　　　　…（14分）
    点评：本题主要考查平移，值域，解整式和分式不等式，切线方程的求法，导数知识判断单调性及其应用，存在性，以及探索、等价转化和推理证明能力，解决综合问题的能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=x-aex-1．
    （Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
    （Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
    （Ⅲ）对任意n的个正整数a1，a2，…an记A=
    a1+a2+…+an
    n

    （1）求证：
    ai
    A
    ≤e
    ai
    A
    -1    （i=1，2，3…n）（2）求证：A≥
    na1a2…an
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
    q
    q-1
    (an-1)    （q是常数且q＞0，q≠1，）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）当q=
    1
    3
    时，试证明a1+a2+…+an＜
    1
    2
    ；
    （3）设函数f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整数m，使
    1
    b1
    +
    1
    b2
    +…+
    1
    bn
    ≥
    m
    3
    对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且f（1）=-
    a2
    ．
    （1）求证：函数f（x）有两个零点．
    （2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的范围．
    （3）求证：函数f（x）的零点x1，x2至少有一个在区间（0，2）内．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|（x∈R）四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有（　　）个
    ①f（x）是偶函数；
    ②f（x）在（0，+∞）单调递增；
    ③不等式f（x）＜2010×2011的解集为∅；
    ④关于实数a的方程f（a2-3a+2）=f（a-1）有无数解．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•杭州一模）设函数f（x）=
    x2
    ax-2
    （a∈N*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-
    1
    m
    成立．
    （1）求函数f（x）的表达式；
    （2）设{an}是各项非零的数列，若f(
    1
    an
    )=
    1
    4(a1+a2+…+an)
    对任意n∈N*成立，求数列{an}的一个通项公式；
    （3）在（2）的条件下，数列{an}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明．

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