Question

13．过离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，c=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，不成立．于是可设直线l的方程为：my=x-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆方程联立可得：（m²+2）y²+2my-1=0，由|FA|=λ|FB|，可得y₁=-λy₂，再利用根与系数的关系代入可得：$λ+\frac{1}{λ}$-2=$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$，由1≤λ≤2，可得0≤${m^2}≤\frac{2}{7}$，利用AB边上的中线长为$\frac{1}{2}|\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{TA}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}-4）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$，及其二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，c=1，a²=b²+c²，
∴$a=\sqrt{2}，c=1$=b，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，显然不成立．因此可设直线l的方程为：my=x-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l的方程与椭圆方程联立可得：（m²+2）y²+2my-1=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+2}}$，
由|FA|=λ|FB|，可得y₁=-λy₂，
∵$-λ+\frac{1}{-λ}=\frac{y_1}{y_2}+\frac{y_2}{y_1}$，
∴$-λ+\frac{1}{-λ}+2=\frac{{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}}}{{{y_1}{y_2}}}=\frac{{-4{m^2}}}{{{m^2}+2}}$，
∴$λ+\frac{1}{λ}$-2=$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$，
∵1≤λ≤2，∴$λ+\frac{1}{λ}$∈$[2，\frac{5}{2}]$，
∴0≤${m^2}≤\frac{2}{7}$，
又AB边上的中线长为$\frac{1}{2}|\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{TA}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}-4）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{4{m}^{4}+9{m}^{2}+4}{（{m}^{2}+2）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{{{{（{m^2}+2）}^2}}}-\frac{7}{{{m^2}+2}}+4}$，
∵0≤${m^2}≤\frac{2}{7}$，∴$\frac{1}{{m}^{2}+2}$=t∈$[\frac{7}{16}，\frac{1}{2}]$．
∴f（t）=2t²-7t+4=2$（t-\frac{7}{4}）^{2}$-$\frac{17}{8}$∈$[1，\frac{169}{128}]$．
∴$\sqrt{f（t）}$$∈[1，\frac{{13\sqrt{2}}}{16}]$．
∴△ABT中AB边上中线长的取值范围是$[1，\frac{13\sqrt{2}}{16}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．