Question

3．如图：在三棱锥A-BCD中，P∈AC，Q∈BD，若V_A-BPQ=6，V_B-CPQ=2，V_Q-PCD=8，则三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD为（　　）

• A． 22
• B． 34
• C． 32
• D． 40

Answer 1

分析 由$\frac{BQ}{DQ}$=$\frac{{S}_{△BCQ}}{{S}_{△CDQ}}$=$\frac{BQ}{DQ}=\frac{1}{4}$，$\frac{{V}_{P-ABQ}}{{V}_{P-ADQ}}=\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△ADQ}}=\frac{BQ}{DQ}$得出V_A-DPQ，则V_A-BCD为四个小棱锥的体积和．

解答 解：设P到平面BCD的距离为h，
则V_B-CPQ=V_P-BCQ=$\frac{1}{3}{S}_{△BCQ}•h$，V_Q-PCD=V_P-CDQ=$\frac{1}{3}{S}_{△CDQ}•h$，
∴$\frac{{S}_{△BCQ}}{{S}_{△CDQ}}$=$\frac{{V}_{B-CPQ}}{{V}_{Q-PCD}}$=$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BQ}{DQ}$=$\frac{{S}_{△BCQ}}{{S}_{△CDQ}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{V}_{P-ABQ}}{{V}_{P-ADQ}}=\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△ADQ}}=\frac{BQ}{DQ}$=$\frac{1}{4}$，
∴V_A-DPQ=4V_P-ABQ=24，
∴V_A-BCD=6+2+8+24=40．
故选：D．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．