Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=-3n²+49n．
（1）请问数列{a_n}是否为等差数列？如果是，请证明；
（2）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）使用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出通项公式a_n，再计算相邻两项的差判断是否为常数即可；
（2）判断{a_n}的符号，对n进行讨论得出数列{b_n}的前n项和与S_n的关系．

解答 解：（1）∵${S_n}=-3{n^2}+49n$，∴a₁=S₁=46．
∴${S_{n-1}}=-3{（{n-1}）^2}+49（{n-1}）（{n≥2}）$，
∴a_n=S_n-S_n-1=-6n+52（n≥2），
经检验，当n=1时上式也成立，
∴a_n=-6n+52，
∴a_n+1-a_n=-6，
∴{a_n}为等差数列．
（2）∵a_n=-6n+52，∴当n≤8时，a_n＞0，当n≥9时，a_n＜0，
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=a₁+a₂+a₃+…+a₈-a₉-a₁₀-…-a_n，
∴当n≤8时，T_n=S_n=-3n²+49n；
当n＞8时，T_n=-S_n+2S₈=3n²-49n+400．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3{n}^{2}+49，n≤8}\\{3{n}^{2}-49n+400，n＞8}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差关系的判断，数列求和，属于中档题．