Question

9．如图，如图，在四棱锥S-ABCD中，底面梯形ABCD中，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知$AC=2AB=4，BC=2AD=2DC=2\sqrt{5}$．
（I）求证：平面SAB⊥平面SAC；
（II）求二面角B-SC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥平面SAB，由此能证明平面SAB⊥平面SAC；
（II）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-SC-A的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：在△BCA中，由于AB=2，CA=4，BC=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+AC²=BC²，故AB⊥AC．…（2分）
又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，…（4分）
∴AC⊥平面SAB
又AC?平面SAC，故平面SAB⊥平面SAC …（6分）
（II）解：如图建立A-xyz空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），S（1，0，$\sqrt{3}$），C（0，4，0），$\overrightarrow{CS}$=（1，-4，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，4，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，4，0）…（7分）
设平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4y=0}\\{x-4y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，则$\overrightarrow{n}$=（2，1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．…（8分）
设平面SCA的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{4b=0}\\{a-4b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，0，1）…（9分）
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$…（11分）
∴二面角B-SC-A的余弦值为$\frac{2\sqrt{19}}{19}$ …（12分）

点评 本题考查线面、面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．