Question

19．已知函数f₁（x）=x²-2|x|，f₂（x）=x+2，设g（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$-$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$，若 a，b∈[-2，4]，且当x₁，x₂∈[a，b]（x₁≠x₂）时，$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，则b-a的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 讨论x的范围去绝对值号，得出g（x）的解析式，利用g（x）的单调性得出区间[a，b]的范围即可得出答案．

解答 解：f₁（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f₁（x）+f₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+2，x≥0}\\{{x}^{2}+3x+2，x＜0}\end{array}\right.$
f₁（x）-f₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x-2，x≥0}\\{{x}^{2}+x-2，x＜0}\end{array}\right.$．
∴|f₁（x）-f₂（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+3x+2，0≤x＜\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{{x}^{2}-3x-2，x＞\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{-{x}^{2}-x+2，-2≤x＜0}\\{{x}^{2}+x-2，x≤-2}\end{array}\right.$，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，0≤x≤\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{x+2，x＞\frac{3+\sqrt{17}}{2}或x＜-2}\\{{x}^{2}+2x，-2≤x＜0}\\{\;}\end{array}\right.$，
做出g（x）的函数图象如图所示：

∴g（x）在（-2，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数，在（-1，0）上是减函数，在（1，4）上是增函数，
∵当x₁，x₂∈[a，b]（x₁≠x₂）时，$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在[a，b]上是增函数，又 a，b∈[-2，4]，
∴[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[1，4]．
∴b-a的最大值为4-1=3．
故选C．

点评 本题考查了含绝对值函数的解析式化简，函数单调性的判断，属于中档题．