Question

10．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+x+lnx，a∈R．
（1）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，求此切线方程；
（2）当a=0时，令函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2b}$x²-x（b∈R且b≠0），求函数g（x）在定义域内的极值点．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，求出a，可得切点坐标，即可求此切线方程；
（2）分类讨论，求导数，利用极值的定义，可得函数g（x）在定义域内的极值点．

解答 解：（1）由题意知：f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+1+$\frac{1}{x}$，
∴k=f′（1）=-a+2=-$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{5}{2}$，切点为（1，$\frac{7}{2}$），
∴此切线方程为y-$\frac{7}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即x+2y-8=0．
（2）当a=0时，g（x）=x+lnx-$\frac{1}{2b}$x²-x=lnx-$\frac{1}{2b}$x²，定义域为x∈（0，+∞），
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{x}{b}$=$\frac{b{-x}^{2}}{bx}$，
①当b＜0时，∴g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，
∴g（x）在定义域内无极值； 
②当b＞0时，令g′（x）=0，∴x=$\sqrt{b}$或x=-$\sqrt{b}$（舍去），

x	（0，$\sqrt{b}$）	$\sqrt{b}$	（$\sqrt{b}$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↑	极大值	↓

∴g（x）的极大值点为$\sqrt{b}$，无极小值点； 
综上：当b＜0时，g（x）在定义域内无极值；
当b＞0时，g（x）的极大值点为$\sqrt{b}$，无极小值点．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力．