Question

18．已知函数$y=b+{a^{{x^2}+2x}}$（a，b是常数，a＞0且a≠1）在区间$[{-\frac{3}{2}，0}]$上有最大值3，最小值为$\frac{5}{2}$．试求a，b的值．

Answer 1

分析 先将x²+2x看作一个整体，求出其范围，再对a分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论确定函数$y=b+{a^{{x^2}+2x}}$取最小值和最大值的情况，列出方程组求解．

解答 解：令t=x²+2x=x（x+2），∵$x∈[{-\frac{3}{2}，0}]$∴t∈[-1，0]
当0＜a＜1时，a⁰≤a^t≤a^-1，∴$1+b≤y≤b+\frac{1}{a}$
依题意得$\left\{\begin{array}{l}b+1=\frac{5}{2}\\ b+\frac{1}{a}=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}\\ b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
当a＞1时，a^-1≤a^t≤a⁰，∴$b+\frac{1}{a}≤y≤1+b$
依题意得$\left\{\begin{array}{l}b+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\\ b+1=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\end{array}\right.$
综上知，a=2，b=2或$a=\frac{2}{3}，b=\frac{3}{2}$

点评 本题考查函数的最值以及应用，考查转化思想以及计算能力．