Question

8．设函数f（x）=e^2x-4ae^x-2ax，g（x）=x²+5a²，a∈R．
（1）若a=1，求f（x）的递增区间；
（2）若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（3）记F（x）=f（x）+g（x），求证：$F（x）≥\frac{{4{{（1-ln2）}^2}}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）分离参数，结合二次函数的性质求出a的范围即可；
（3）求出F（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而证明结论即可．

解答 解：（1）当a=1，f（x）=e^2x-4e^x-2x，f'（x）=2e^2x-4e^x-2，
令f'（x）＞0得$x＞ln（1+\sqrt{2}）$，∴f（x）的递增区间为$（1+\sqrt{2}，+∞）$．
（2）∵f'（x）=2e^2x-4ae^x-2a≥0在R上恒成立，
∴e^2x-2ae^x-a≥0在R上恒成立．
∴$a≤\frac{{{e^{2x}}}}{{2{e^x}+1}}$=$\frac{1}{{2{e^{-x}}+{e^{-2x}}}}=\frac{1}{{{{（{e^{-x}}+1）}^2}-1}}$在R上恒成立．
∵e^-x＞0，∴$\frac{1}{{{{（{e^{-x}}+1）}^2}-1}}＞0$，∴a≤0．
（3）证明：∵F（x）=e^2x-4ae^x-2ax+x²+5a²
=5a²-（4e^x+2x）a+x²+e^2x
=$5{（a-\frac{{2{e^x}+x}}{5}）^2}+\frac{{{e^{2x}}-4x{e^x}+4{x^2}}}{5}$$≥\frac{{{e^{2x}}-4x{e^x}+4{x^2}}}{5}=\frac{{{{（{e^x}-2x）}^2}}}{5}$，
设h（x）=e^x-2x，则h'（x）=e^x-2，
令h'（x）＜0，得x＜ln2，则h（x）在（-∞，ln2）单调递减；
令h'（x）＞0，得x＞ln2，则h（x）在（ln2，+∞）单调递增；
∴h（x）_min=h（ln2）=2-ln2＞0，
∴$F（x）≥\frac{{{{（{e^x}-2x）}^2}}}{5}≥$$\frac{{{{（2-2ln2）}^2}}}{5}=\frac{{4{{（1-ln2）}^2}}}{5}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．