Question

16．已知函数f（x）=lnx+a（$\frac{1}{x}$-1），其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求证：对于任意的n∈N*，且n＞1时，都有lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）求导，由题意可知：f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，则a≤1；
（2）由a=1，则f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1在[1，+∞），则f（$\frac{n}{n-1}$）＞f（1），则lnn-ln（n-1）＞$\frac{1}{n}$，对任意n∈N*，且n＞1恒成立，根据对数的运算性质，则lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$恒成立．

解答 解：（1）f（x）=lnx+a（$\frac{1}{x}$-1），求导f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
由已知，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
则a≤x在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤1，
实数a的取值范围（0，1]；
（2）证明：由（1）可知：a=1，则f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1在[1，+∞）递增，
当n＞1时，由$\frac{n}{n-1}$＞1，则f（$\frac{n}{n-1}$）＞f（1），
即lnn-ln（n-1）＞$\frac{1}{n}$，对任意n∈N*，且n＞1恒成立，
lnn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln1＞$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$+…+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$，
∴对于任意的n∈N*，且n＞1时，都有lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$恒成立．

点评 本题考查导数的综合应用，考查不等式恒成立，对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．