Question

4．已知α为锐角，且sin2α+$\sqrt{3}$cos2α=1，函数f（x）=2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角和的正弦公式，结合α为锐角，可得α=$\frac{π}{4}$，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求得a_n+1=2a_n+1，即有a_n+1+1=2（a_n+1），则数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，运用等比数列的通项公式和数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）α为锐角，且sin2α+$\sqrt{3}$cos2α=1，
即有$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α=$\frac{1}{2}$，
即sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{3}$＜2α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
可得2α+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，解得α=$\frac{π}{4}$，
f（x）=2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）=2xcos0+sin$\frac{π}{2}$
=2x+1；
（Ⅱ）数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
即为a_n+1=2a_n+1，即有a_n+1+1=2（a_n+1），
则数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
可得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即为a_n=2ⁿ-1，
数列{a_n}的前n项和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评 本题考查两角和的正弦公式的运用和简单三角方程的解法，考查数列的通项和求和，注意运用分组求和，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．