Question

13．设a，b，c是三个正实数，且a（a+b+c）=bc，则$\frac{a}{b+c}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知条件可得a为方程x²+（b+c）x-bc=0的正根，求出a，再代入$\frac{a}{b+c}$变形化简利用基本不等式即可求出

解答 解：a（a+b+c）=bc，
∴a²+（b+c）a-bc=0，
∴a为方程x²+（b+c）x-bc=0的正根，
∴a=$\frac{-（b+c）+\sqrt{（b+c）^{2}+4bc}}{2}$，
∴$\frac{a}{b+c}$=$\frac{-（b+c）+\sqrt{（b+c）^{2}+4bc}}{2（b+c）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{（b+c）^{2}+4bc}}{2（b+c）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{4bc}{（b+c）^{2}}}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{4}{\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+2}}$≤-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{4}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，当且仅当b=c时取等号，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是正确的转化，属于中档题．