Question

18．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3
（1）求证：平面PAB⊥面ABCD
（2）求二面角O-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用线面垂直的判定，可得PO⊥底面ABCD，即可证明结论；
（2）过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN，证明∠MNC是二面角O-PD-C的平面角，从而可求二面角O-PD-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC=AB=2，AD=3．
∴OC=$\sqrt{5}$，OD=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{5}$，
∵OD²=OC²+DC²=10，
∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，
∴CD⊥PO．
∵PA=PB=AB，O为AB中点，
∴PO⊥AB，
∴PO⊥底面ABCD，
∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥面ABCD…（6分）
（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．
则由于PO⊥平面OCD，PO?平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，
∵CM?平面OCD，平面POD∩平面OCD=OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，
∵MN⊥PD，MN∩CM=M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，
即∠MNC是二面角O-PD-C的平面角．
在Rt△OCD中，CM=$\frac{OC•CD}{\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△PCD中，CN=$\frac{PC•CD}{\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{13}$，
所以MN=$\sqrt{\frac{15}{26}}$，所以二面角O-PD-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定是关键．