Question

5．已知变量x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-15≤0，}&{\;}\\{x-3y-5≤0，}&{\;}\\{x≥a，}&{\;}\end{array}\right.$使得y≤3^x恒成立的实数a的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用指数式恒成立，转化求解a的最小值即可．

解答 解：变量x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-15≤0，}&{\;}\\{x-3y-5≤0，}&{\;}\\{x≥a，}&{\;}\end{array}\right.$的可行域如图：
变量x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-15≤0，}&{\;}\\{x-3y-5≤0，}&{\;}\\{x≥a，}&{\;}\end{array}\right.$
使得y≤3^x恒成立，
可知可行域的A是最优解，此时3^x取得最大值，由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{3x+y-15=0}\end{array}\right.$，
可得A（a，15-3a），
15-3a≤3^a，此时a≥2，
变量x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-15≤0，}&{\;}\\{x-3y-5≤0，}&{\;}\\{x≥a，}&{\;}\end{array}\right.$
使得y≥3^x恒成立的实数a的最小值为2．
故选：C．

点评 本题考查线性规划的简单应用，函数的最值以及恒成立条件的转化，考查计算能力．