Question

6．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，且过点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，点满足双曲线的方程，结合a，b，c的关系，可知a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，由此能求出双曲线方程；
（2）联立直线x-y+m=0和双曲线的方程，消去y，得x²-2mx-m²-2=0，故x₁+x₂=2m，所以AB中点（m，2m），代入圆方程能求出m的值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
代入点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），可得$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
又a²+b²=c²，
解得a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，
可得双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线x-y+m=0代入双曲线的方程2x²-y²=2，
消去y可得x²-2mx-m²-2=0，
△=4m²+4（m²+2）＞0恒成立．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=2m，
AB的中点坐标为（m，2m），
由线段AB的中点在圆x²+y²=5上，
可得m²+4m²=5，解得m=±1．

点评 本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．