Question

1．已知实数x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y+1≥0}\\{{x^2}+{y^2}≤4}\\{xy≥0}\end{array}}\right.$，则z=2x+y的取值范围是（　　）

• A． $[-2，2\sqrt{5}]$
• B． [-2，0]
• C． $[-2\sqrt{5}，2]$
• D． $[\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，1]$

Answer 1

分析 由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=-2x+z，z相当于直线y=-2x+z的纵截距，由几何意义可得最小值，利用直线与圆的位置关系求解z的范围即可．

解答 解：由题意作出约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y+1≥0}\\{{x^2}+{y^2}≤4}\\{xy≥0}\end{array}}\right.$的平面区域，
将z=2x+y化为y=-2x+z，z相当于直线y=-2x+z的纵截距，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{y=0}\end{array}\right.$解得，A（-1，0）；此时z=2x+y的最小值为：-2．
$d=\frac{|z|}{\sqrt{5}}≤2$解得，-2$\sqrt{5}$≤z$≤2\sqrt{5}$，
综上Z=2x+y的取值范围为[-2，2$\sqrt{5}$]．
故选：A．

点评 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题．