Question

11．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，E点满足$PE=\frac{1}{3}PD$
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段BC上是否存在点F使得PF∥面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥PA，CD⊥PA，即可证明：PA⊥平面ABCD；
（2）当F为BC中点时，PF∥面EAC，证明PF∥ES即可．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC   
又∵PB⊥BC，AB∩PB=B，
∴BC⊥面PAB，∴BC⊥PA
同理CD⊥PA，
∵BC∩CD=C，∴PA⊥面ABCD
（2）解：当F为BC中点时，PF∥面EAC，理由如下：
∵AD∥2FC，∴$\frac{FS}{SD}=\frac{FC}{AD}=\frac{1}{2}$，
又由已知有$\frac{PE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，∴PF∥ES
∵PF?面EAC，EC?面EAC，
∴PF∥面EAC．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．