Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦点到直线x=$\frac{a^2}{c}$的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点（点P不在y轴上），过点O作OP的垂线交直线y=$\sqrt{2}$于点Q，求$\frac{1}{{|OP{|^2}}}+\frac{1}{{|OQ{|^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦点到直线x=$\frac{a^2}{c}$的距离为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当OP的斜率为0时，|OP|=$\sqrt{2}$，|OQ|=$\sqrt{2}$，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=1；当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y=kx，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²=2，由此利用直线与直线垂直、韦达定理，结合已知条件，求出$\frac{1}{{|OP{|^2}}}+\frac{1}{{|OQ{|^2}}}$=1．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦点到直线x=$\frac{a^2}{c}$的距离为1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=1}\end{array}\right.$，且a²=b²+c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设P（x₁，y₁），Q（${x}_{2}，\sqrt{2}$），
由题意知OP的斜率存在，
当OP的斜率为0时，|OP|=$\sqrt{2}$，|OQ|=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=1，
当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²=2，
解得${{x}_{1}}^{2}=\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，∴${{y}_{1}}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
∴|OP|²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{2{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$，
∵OP⊥OQ，∴直线OQ的方程为y=-$\frac{1}{k}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，得${x}_{2}=-\sqrt{2}k$，
∴|OQ|²=${{x}_{2}}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=2{k}^{2}+2$，
∴$\frac{1}{{|OP{|^2}}}+\frac{1}{{|OQ{|^2}}}$=$\frac{2{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+2}+\frac{1}{2{k}^{2}+2}$=1．
综上，$\frac{1}{{|OP{|^2}}}+\frac{1}{{|OQ{|^2}}}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查线段平方的倒数和的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．