Question

20．在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{15}{2}$，则AB的长度为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形建立平面直角坐标系，利用坐标表示$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BE}$，从而求出AB的长度．

解答 解：以D为原点，以BC，AD所在直线为x，y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示；

设BD=x，则CD=4-x，
D（0，0），A（0，1），B（-x，0），
C（4-x，0），E（2-$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{DC}$=（4-x，0），$\overrightarrow{BE}$=（2+$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BE}$=（4-x）（2+$\frac{x}{2}$）+0×$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$，
化简得x²=1，
∵x＞0，解得x=1，
∴B（-1，0）；
又A（0，1），
∴|AB|=$\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积应用问题，解题时建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题，是基础题．