Question

10．已知x，y为正实数，则$\frac{2x}{x+2y}+\frac{x+y}{x}$的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由x，y为正实数，可得$\frac{2x}{x+2y}+\frac{x+y}{x}$=$\frac{2}{1+\frac{2y}{x}}$+$\frac{y}{x}$+1，令$\frac{y}{x}$=t＞0，则f（t）=$\frac{2}{1+2t}$+t+1=$\frac{1}{t+\frac{1}{2}}$+t+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：∵x，y为正实数，
∴$\frac{2x}{x+2y}+\frac{x+y}{x}$=$\frac{2}{1+\frac{2y}{x}}$+$\frac{y}{x}$+1，
令$\frac{y}{x}$=t＞0，则f（t）=$\frac{2}{1+2t}$+t+1=$\frac{1}{t+\frac{1}{2}}$+t+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$
可知：当$\frac{1}{t+\frac{1}{2}}$=t+$\frac{1}{2}$即t=$\frac{1}{2}$时，函数f（t）取得最小值$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了换元法和基本不等式求最小值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．