Question

19．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为常数）．若不等式f（x）≥2ax+b的解集为R，则$\frac{b^2}{{{a^2}+{c^2}}}$的最大值为2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 根据不等式恒大于等于0，求出c≥a，令c=ka（k＞1），再根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可．

解答 解：ax²+（b-2a）x+c-b≥0（a＞0），
△=（b-2a）²-4a（c-b）≤0，
即b²+4a²-4ac≤0，b²≤4ac-4a²，
∴$\frac{b^2}{{{a^2}+{c^2}}}≤\frac{{4ac-4{a^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}$4ac-4a²≤b²，
∴c≥a，
求最大值、不妨令c=ka（k＞1）
∴$\frac{{4ac-4{a^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}=\frac{{4k{a^2}-4{a^2}}}{{{k^2}{a^2}+{a^2}}}=4\frac{k-1}{{{k^2}+1}}（k＞1）$
令k-1=t，$\frac{{4ac-4{a^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}=4\frac{t}{{{{（t+1）}^2}+1}}=4\frac{1}{{t+\frac{2}{t}+2}}≤\frac{4}{{2\sqrt{2}+2}}=2\sqrt{2}-2$
即$\frac{b^2}{{{a^2}+{c^2}}}≤2\sqrt{2}-2$，
故答案为：2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．