Question

8．如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．
（1）求证：EF⊥PD；
（2）求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，摔倒导出BD⊥AC，AC⊥PB，从而AC⊥PD，再由EF∥AC，能证明EF⊥PD．
（2）由PB⊥面ABC，得PB⊥EF，连结BD，交EF于点O，则∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，且EF⊥PO，由此能求出直线PF与平面PBD所成的角的正弦值．

解答 证明：（1）连结BD，在△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC，
又PB⊥面ABC，∴AC⊥PB，
又PB与BD交于点B，∴AC⊥平面PBD，AC⊥PD，
∵E，F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，∴EF⊥PD．
解：（2）PB⊥面ABC，∴PB⊥EF，
连结BD，交EF于点O，
∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，
∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，且EF⊥PO，
∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，
又∵∠PAB=45°，∴PB=AB=2，
∵OF=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PF=$\sqrt{P{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△FPO中，sin$∠FPO=\frac{OF}{PF}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴直线PF与平面PBD所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．