Question

18．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}3x+y+3≥0\\ 2x-y+2≤0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$，则z=x²+y²的取值范围为（　　）

• A． [1，13]
• B． [1，4]
• C． $[{\frac{4}{5}，13}]$
• D． $[{\frac{4}{5}，4}]$

Answer 1

分析 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}3x+y+3≥0\\ 2x-y+2≤0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$的可行域如图所示，其中A（-1，0），B（-2，3），C（0，2），
若目标函数z=x²+y²的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方．由图形可知仅在点B（-2，3）取得最大值，z=4+9=13．
由图知，原点到直线2x-y+2=0的距离最小，d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
可得z=x²+y²=d²=$\frac{4}{5}$．
则z=x²+y²的取值范围为[$\frac{4}{5}$，13]，
故选：C．

点评 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．判断几何意义，最后比较，即可得到目标函数的最优解．