Question

13．在直角三角形△ABC中，$C=\frac{π}{2}$，$|{\overrightarrow{AC}}|=3$，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得$3\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}$，则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$=6．

Answer 1

分析 据题意，可分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立一平面直角坐标系，得到A（0，3），并设M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），这样根据条件$3\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}$即可得到$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{b}{3}}\\{y′=2}\end{array}\right.$，即得到$D（\frac{b}{3}，2）$，进行数量积的坐标运算即可求出$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$的值．

解答 解：根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：

A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；
∴由$3\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}$得：
3（x′-x，y′-y）=（b-x，-y）+2（-x，3-y）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x′=b}\\{3y′=6}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{b}{3}}\\{y′=2}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}=（\frac{b}{3}，2）•（0，3）=6$．
故答案为：6．

点评 考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标，向量坐标的数乘和数量积运算．