Question

3． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，PA⊥PB，F为CE上的点，且BF⊥平面PAC．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PD上是否存在一点G，使GF∥平面PAB，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥平面PAB，即可证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）作PE⊥AB，垂足为E，连接EC，则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成角，即可求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）作FG∥CD，交PD于G，可得出GF∥平面PAB．

解答 （Ⅰ）证明：∵BF⊥平面PAC，∴BF⊥PA，
∵PA⊥PB，PB∩BF=B，
∴PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：作PE⊥AB，垂足为E，连接EC，则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成角．
∵PA=PB，PA⊥PB，AB=2，
∴$PE=1，PB=\sqrt{2}$，
Rt△PBC中，由勾股定理得PC=$\sqrt{6}$，∴sin∠PCE=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（Ⅲ）解：作FG∥CD，交PD于G，
∵FG∥CD，AB∥CD，
∴FG∥AB．
∵PG?平面PAB，AB?平面PAB，
∴PG∥平面PAB，
∵BF⊥平面PAC，
∴BF⊥PC．
∵PF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴棱PD上是否存在一点G，PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，使GF∥平面PAB．

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，考查线面平行，属于中档题．