Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2$\sqrt{2}$，PA=2，BC=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）若E为PB的中点，证明：AE∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：AB⊥PC
（Ⅲ）若F为PD的中点，求二面角F-AC-D的平面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC中的H，连结EH，证明四边形EHDA为平行四边形，得到AE∥DH，即可得AE∥面PDC，
（Ⅱ）取BC中的G，连结AG，证明AB⊥AC，AB⊥PA，得到AB⊥面PAC，即可得到AB⊥AC．
（Ⅲ）取AD的中的M，连结FM，则FM∥PA，由PA⊥平面ABCD，则FM⊥平面ABCD，过点M，作MN⊥AC，连结FN，则二面角F-AC-D的平面角为∠FNM，在直角三角形FNM中求解，

解答 解：（Ⅰ）取PC中的H，连结EH，HD，因为E为PB的中的，所以EH∥BC，EH=$\frac{1}{2}BC$，
由AD∥BC，且AD=$\frac{1}{2}BC$，得EH∥AD，且EH=AD，∴四边形EHDA为平行四边形．
∴AE∥DH，AE?面PDC，DH?面PDC，∴AE∥面PDC，


（Ⅱ）取BC中的G，连结AG，则AD∥GC，AD=GC，∴四边形AGCD为平行四边形∴AG⊥BC，
又AG=BG=GC=2$\sqrt{2}$，∴∠ABC=∠ACD=45°，故AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，且AC∩PA=A，∴AB⊥面PAC，∴AB⊥AC．


（Ⅲ）取AD的中的M，连结FM，则FM∥PA，由PA⊥平面ABCD，则FM⊥平面ABCD，
过点M，作MN⊥AC，连结FN，则FN⊥AC，
∴二面角F-AC-D的平面角为∠FNM，在直角三角形FNM中，$PM=\frac{1}{2}PA=1，MN=1$，
$tan∠FNM=\frac{FM}{MN}=1$，∴二面角F-AC-D的平面角的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了空间线面平行、线线垂直、几何法求二面角，关键是弄清线线、线面、面面位置关系，合理准确添加辅助线，属于中档题．