Question

6．已知函数f（x）=e^x．
（Ⅰ）过原点作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；
（Ⅱ）当x＞0时，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数．

Answer 1

分析 （I）先求出其导数，利用导数得出切线的斜率即可；
（II）由f（x）=mx²，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$（x＞0），利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设切线方程为y=kx，
切点为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{k{x}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\\{k={e}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，
∴x₀=1，k=e，
∴函数y=f（x）的图象过原点的切线方程为y=ex；
（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx²，化为m=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$（x＞0），则h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，h（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴当m∈（0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数为0；
当m=$\frac{{e}^{2}}{4}$时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数为1；
当m＞$\frac{{e}^{2}}{4}$时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点个数为2．

点评 本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程的根的个数等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．