Question

9．已知函数f（x）=xlnx-ae^x（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• B． （0，e）
• C． $（{\frac{1}{e}，e}）$
• D． （-∞，e）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为y=a和g（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$在（0，+∞）2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=lnx-ae^x+1，
若函数f（x）=xlnx-ae^x有两个极值点，
则y=a和g（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$在（0，+∞）有2个交点，
g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，（x＞0），
令h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，则h′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0，
h（x）在（0，+∞）递减，而h（1）=0，
故x∈（0，1）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）递增，
x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）递减，
故g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{e}$，
而x→0时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→0，
若y=a和g（x）在（0，+∞）有2个交点，
只需0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．