Question

17．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点F₁，F₂是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$且△F₁PF₂的面积为3．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）动点M在椭圆E上，动点N在直线l：y=2$\sqrt{3}$上，若OM⊥ON，求证：原点O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率a=2c，利用勾股定理，三角形的面积公式及椭圆的定义，即可求得a和c的值，则b²=a²-c²，即可求得椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）当直线ON斜率不存在时，由d=$\frac{丨OM丨丨ON丨}{丨MN丨}$=$\sqrt{3}$，当直线OM斜率存在时，将直线OM的方程代入椭圆方程，求得M点坐标，则直线ON的斜率-$\frac{1}{k}$，将y=2$\sqrt{3}$，求得N点坐标，则d²=$\frac{丨OM{丨}^{2}•丨ON{丨}^{2}}{丨MN{丨}^{2}}$=3，原点O到直线MN的距离是定值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，①
△F₁PF₂的面积为3，则$\frac{1}{2}$丨PF₁丨丨PF₂丨=3，则丨PF₁丨丨PF₂丨=6，
由丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，丨PF₁丨²+丨PF₂丨²=（2c）²．
则a²-c²=3，②
解得：a=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：①当直线ON斜率不存在时，即点N在y轴上时，丨ON丨=2$\sqrt{3}$，
丨OM丨=2，丨MN丨=4，
设原点O到直线MN的距离为d，由比例关系可得d=$\frac{丨OM丨丨ON丨}{丨MN丨}$=$\sqrt{3}$，
②当直线OM斜率存在时，设直线OM方程为：y=kx，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，y²=$\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
由OM⊥ON，则直线ON方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，代入y=2$\sqrt{3}$，可得x=-2$\sqrt{3}$k，则N（-2$\sqrt{3}$k，2$\sqrt{3}$），
则丨MN丨²=丨ON丨²+丨OM丨²=（-2$\sqrt{3}$k）²+（2$\sqrt{3}$）²+$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{48（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
则由比例关系可得d=$\frac{丨OM丨丨ON丨}{丨MN丨}$，
d²=$\frac{\frac{12（k+1）^{2}}{3+4{k}^{2}}•12（k+1）^{2}}{\frac{48（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=3，
∴d=$\sqrt{3}$，
综上所述，原点O到直线MN的距离为定值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．