Question

12．已知函数f（x）=$\frac{（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}-1}{co{s}^{2}\frac{x}{2}-si{n}^{2}\frac{x}{2}}$，函数y=f（x）-$\sqrt{3}$在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a_n}（n∈N*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{\frac{3}{π}{a}_{n}}{（4{n}^{2}-1）（3n-2）}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式先化简得到f（x）=tanx，再根据函数零点定理可得x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，即可得到数列的通项公式，
（Ⅱ）化简bn=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再裂项求和即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}-1}{co{s}^{2}\frac{x}{2}-si{n}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{sinx}{cosx}$=tanx，
∵y=f（x）-$\sqrt{3}$=0，
∴tanx=$\sqrt{3}$，
∴x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵函数y=f（x）-$\sqrt{3}$在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a_n}，
∴a_n=$\frac{π}{3}$+（n-1）π，
（Ⅱ）b_n=$\frac{\frac{3}{π}{a}_{n}}{（4{n}^{2}-1）（3n-2）}$=$\frac{3n-2}{（2n+1）（2n-1）（3n-2）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$

点评 本题考查了三角函数的化简和函数零点定理以及数列的通项公式和裂项法求前n项和，属于中档题