Question

5．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\\ y≤-nx+2n\end{array}\right.$所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=${2^{a_n}}$+（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前2n项和．

Answer 1

分析 （1）由x＞0，y＞0，2n-nx＞0，可求得x=1，则D_n内的整点在直线x=1上，联立可求得整点纵坐标，进而可得整点个数；
（2）求得b_n=${2^{a_n}}$+（-1）ⁿa_n=2ⁿ+（-1）ⁿn，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）由x＞0，y＞0，2n-nx＞0，得0＜x＜2，x为整数，∴x=1，
∴D_n内的整点在直线x=1上，记直线y=-nx+2n为l，
l与直线x=1的交点的纵坐标分别为y₁，
则y₁=-n+2n=n，
∴a_n=n（n∈N^*）；
（2）b_n=${2^{a_n}}$+（-1）ⁿa_n=2ⁿ+（-1）ⁿn，
则数列{b_n}的前2n项和T_2n=（2+2²+…+2²ⁿ）+[-1+2-3+4-…-（2n-1）+2n]
=$\frac{2（1-{2}^{2n}）}{1-2}$+n=2²ⁿ⁺¹-2+n．

点评 本题考查数列与不等式的综合，考查线性规划的基本知识，等比数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．