Question

10．已知A={x||3x-4|＞2}，$B=\left\{{\left.x\right|\frac{1}{{{x^2}-x-2}}＞0}\right\}$，C={x|（x-a）（x-a-1）≥0}，p：x∈∁_RA，q：x∈∁_RB，r：x∈C
（1）p是q的什么条件？
（2）若r是p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出p，q成立的x的范围，根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可；
（2）解关于r的不等式，根据充分必要条件的定义得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由|3x-4|＞2得3x-4＞2或3x-4＜-2，
即x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，即p：$\frac{2}{3}$≤x≤2
由q：$\frac{1}{{x}^{2}-x-2}$＞0得x²-x-2＞0得x＞2或x＜-1，即q：-1≤x≤2，
则p是q的充分不必要条件．
（2）由（x-a）（x-a-1）≥0得x≤a或x≥a+1，即r：x≤a或x≥a+1，
若r是p的必要非充分条件，
即a≥2或a+1≤$\frac{2}{3}$，
即a≥2或a≤-$\frac{1}{3}$，
即实数a的取值范围是a≥2或a≤-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道中档题．