Question

13．已知，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD=4EF=4ED=4，EF∥AD，AF=$\sqrt{2}$，M、N分别为线段AB、DE的中点
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCEF；
（Ⅱ）求证：平面ADEF⊥平面DEB；
（Ⅲ）若MN=4，求直线MN与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取EC的中点G，连接GB，GN，推导出四边形MBGN是平行四边形，从而MN∥GB，由此能证明MN∥平面BCEF．
（Ⅱ）推导出AD⊥BD，⊥DE，从而AD⊥平面DEB，由此能证明平面ADEF⊥平面DEB．
（Ⅲ）取BD的中点H，连接MH，NH，则MH∥AD，∠MNH为直线MN与平面BDE所成的角，由此能出直线MN与平面BDE所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取EC的中点G，连接GB，GN，
∵EN=DN，∴NG∥DC，且NG=$\frac{1}{2}$DC，
又∵AM=BM，四边形ABCD是平行四边形，
∴NG∥MB，且NG=MB，
∴四边形MBGN是平行四边形，∴MN∥GB，
又∵BG?平面BCEF，MN?平面BCEF，
∴MN∥平面BCEF．
（Ⅱ）在△ADB中，∵∠DAB=60°，AB=2AD，∴AD⊥BD，
在梯形ADEF中，∵AD=2EF=2DE=2，AF=$\sqrt{2}$，
∴AD⊥DE，又∵DE∩DB=D，
∴AD⊥平面DEB，
又∵AD?平面ADEF，
∴平面ADEF⊥平面DEB．
解：（Ⅲ）取BD的中点H，连接MH，NH，则MH∥AD，
由（Ⅱ）得AD⊥平面DEB，∴MH⊥平面DEB，
∴NH是MN在平面DEB上的射影，且MH⊥NH，
∴∠MNH为直线MN与平面BDE所成的角，
在Rt△MNH中，MH=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴sin$∠MNH=\frac{MH}{MN}=\frac{1}{4}$，
∴直线MN与平面BDE所成角的正弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．