Question

2．已知函数f（x）=e^x-x²-ax．
（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；
（2）令g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$（x²-a²），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）-ex≥xlnx-x²-x+1．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a，设h（x）=e^x-2x，求出导数和单调区间，以及最小值，可得f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值；
（2）求得g（x）的导数，令m（x）=e^x-x-a，求出单调区间和最值，讨论（i）当1-a≥0即a≤1时，（ii）当1-a＜0即a＞1时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到a的范围；
（3）f（x）-ex≥xlnx-x²-x+1等价于e^x-x²-ex≥xlnx-x²-x+1，即e^x-ex≥xlnx-x+1．等价于$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-e+1≥0．令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-e+1，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到证明．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-2x-a，∴f′（0）=1-a=1，∴a=0，
∴f′（x）=e^x-2x，记h（x）=e^x-2x，∴h′（x）=e^x-2，令h′（x）=0得x=ln2．
当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单减；当ln2＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增，
∴h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2＞0，
故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=f（1）=e-1． 
（2）∵g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$（x+a）²，∴g′（x）=e^x-x-a．
令m（x）=e^x-x-a，∴m′（x）=e^x-1，
当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）_min=m（0）=1-a．
（i）当1-a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，
∴g（x）_min=g（0）=1-$\frac{{a}^{2}}{2}$≥0，解得-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，所以-$\sqrt{2}$≤a≤1．
（ii）当1-a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1-a＜0，
当1＜a＜e²-2时，m（ln（a+2））=2-ln（2+a）＞0，
∴?x₀∈（0，ln（a+2）），使m（x₀）=0，即e${\;}^{{x}_{0}}$=x₀+a．
当x∈（0，x₀）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减；
当x∈（x₀，ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增．
∴g（x）_min=g（x0）=e${\;}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{2}$（x₀+a）²=e${\;}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{2}$e${\;}^{2{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$（1-$\frac{1}{2}$e${\;}^{{x}_{0}}$）≥0，
∴e${\;}^{{x}_{0}}$≤2可得0＜x₀≤ln2，由e${\;}^{{x}_{0}}$=x₀+a，
∴a=e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀．
记t（x）=e^x-x，x∈（0，ln2]，
∴t′（x）=e^x-1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，
∴t（x）≤t（ln2）=2-2ln2，∴1＜a≤2-2ln2，
综上，a∈[-$\sqrt{2}$，2-ln2]． 
（3）证明：f（x）-ex≥xlnx-x²-x+1等价于e^x-x²-ex≥xlnx-x²-x+1，
即e^x-ex≥xlnx-x+1．
∵x＞0，∴等价于$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-e+1≥0．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-e+1，
则h′（x）=$\frac{（x-1）（{e}^{x}-1）}{{x}^{2}}$．
∵x＞0，∴e^x-1＞0．
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．
∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，
∴h（x）≥h（1）=e-1-e+1=0，
∴a=0且x＞0时，不等式f（x）-ex≥xlnx-x²-x+1成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，注意运用分类讨论和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．