Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=（$\sqrt{2}$）${\;}^{1+{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1），两式相减可得a_n+1与a_n之间的递推关系，利用累加法，即可求出通项公式；
（2）b_n=（2n-1）•${\sqrt{2}}^{2n}$=（2n-1）•2ⁿ，结合数列的项的特点考虑利用错位相减求和．

解答 解：（1）在4S_n=（2n-1）a_n+1+1中，令n=1，得a₂=3，
∵4S_n=（2n-1）a_n+1+1，∴当n≥2时，4S_n-1=（2n-1）a_n+1，
两式相减，得：4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n（n≥2）⇒$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{2n+1}{2n-1}（n≥2）$
${a_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}•\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_{n-2}}}}•\frac{{{a_{n-2}}}}{{{a_{n-3}}}}…\frac{a_3}{a_2}•\frac{a_2}{a_1}•{a_1}=\frac{2n-1}{2n-3}•\frac{2n-3}{2n-5}•\frac{2n-5}{2n-7}•…•\frac{5}{3}•\frac{3}{1}•1=2n-1$，
故a_n=2n-1；
（2）由（1）可得b_n=（2n-1）•${\sqrt{2}}^{2n}$=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-6-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题主要考查了利用数列的递推公式，通项公式的应用及错位相减求和方法的应用，具有一定的综合性．