Question

15．已知函数f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R），f'（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值-9．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若g（x）=f'（x）+（6m-8）x+4，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若不等式f'（x）＞k（xlnx-1）-3x-4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．（注：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的极小值，求出a，b的值，进而可求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求出g（x）的表达式，利用二次函数的图象和性质，建立条件关系即可得到结论围；
（Ⅲ）利用参数分离法，将不等式转化为求参数的最值问题．

解答 解：（Ⅰ）由f'（x）=3ax²-2x+b，因为函数在x=3时有极小值-9，
所以$\left\{\begin{array}{l}{27a-6+b=0}\\{27a-9+3b=-9}\end{array}\right.$，从而解得a=$\frac{1}{3}$，b=-3
所求的f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，所以f'（x）=x²-2x-3，
由f'（x）＜0解得-1＜x＜3，
所以f（x）的单调递减区间为（-1，3），
（Ⅱ）由f′（x）=x²-2x-3，故g（x）=x²-2x-3+（6m-8）x+4，
当m＞0时，若x＞0，则h（x）=mx＞0，满足条件；
若x=0，则g（0）=1＞0，满足条件；
若x＜0，h（x）＜0，所以g（x）＞0恒成立，
6m-8＜-$\frac{1}{x}$-x+2恒成立，
-$\frac{1}{x}$-x+2≥4，当且仅当x=-1取等号，
所以6m-8＜4，0＜m＜2，即m的取值范围是（0，2）；
（Ⅲ）因为f′（x）=x²-2x-3，所以f′（x）＞k（xlnx-1）-3x-4等价于
x²+x+1＞k（xlnx-1），即x+$\frac{k+1}{x}$+1-klnx＞0，
记φ（x）=x+$\frac{k+1}{x}$+1-klnx，则φ′（x）=$\frac{（x+1）（x-k-1）}{{x}^{2}}$，
由φ′（x）＞0，得x＞k+1，
所以φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，
所以φ（x）≥φ（k+1）=k+3-kln（k+1），
φ（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+3-kln（k+1）＞0，即1+$\frac{3}{k}$-ln（k+1）＞0，
记m（x）=1+$\frac{3}{x}$-ln（x+1）因为m（x）在（0，+∞）上单调递减，
又m（4）=$\frac{7}{4}$-ln5＞0，m（5）=$\frac{8}{5}$-ln6＜0，所以k=1，2，3，4，
所以k的最大值为4．

点评 本题主要考查函数的单调性，极值和导数的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．