Question

5．在平面直角坐标系xoy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=2，已知点A（-2，0），B（2，0），则（|PA|-|PB|）²（　　）

• A． 为定值8
• B． 为定值4
• C． 为定值2
• D． 不是定值

Answer 1

分析 可画出图形，并设P（x，y），Q（x，-y），从而由$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=2$可得到y²=x²-2，进而得出$x≥\sqrt{2}，或x≤-\sqrt{2}$，从而求出$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{2}|x+1|，|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2}|x-1|$，这样便可得到$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}}&{x≥\sqrt{2}}\\{-2\sqrt{2}}&{x≤-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，这样便可得出正确选项．

解答 解：如图，设P（x，y），Q（x，-y），则：
$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}^{2}-{y}^{2}=2$；
∴y²=x²-2，$x≥\sqrt{2}$，或$x≤-\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+{x}^{2}-2}$=$\sqrt{2}|x+1|$，$|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{（x-2）^{2}+{x}^{2}-2}=\sqrt{2}|x-1|$；
∴$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2}（|x+1|-|x-1|）$=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}}&{x≥\sqrt{2}}\\{-2\sqrt{2}}&{x≤-\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴$（|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|）^{2}$=8．
故选A．

点评 考查设出点的坐标解决问题的方法，向量数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标，以及求向量的长度，绝对值的处理方法．