Question

15．已知F为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，直线PP′过坐标原点O，与椭圆C分别交于点P，P′两点，且|PF|=1，|P′F|=3，椭圆C的离心率e=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点，若∠AOB是钝角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知丨PF₁丨+|PF|=3+1=4=2a，a=2c，即可求得c的值，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）当k=0时，求得A和B的坐标，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$＞0，则∠AOB是锐角，当k≠0，代入椭圆方程，由韦达定理及向量的坐标运算，x₁x₂+y₁y₂＜0，即可求得k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的左焦点为F₁，由题意可在：丨PF₁丨=|P′F|=3，则丨PF₁丨+|PF|=3+1=4=2a，则a=2，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则c=1，
b²=a²-c²=3
椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅱ）可知：椭圆的右焦点（1，0），直线AB的斜率k=0时，
A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$＞0，
∴∠AOB是锐角，
当直线AB的斜率存在时，直线l的方程y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直线l过焦点F，∴△＞0恒成立，
且x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∠AOB是钝角，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，
∴x₁x₂+y₁y₂＜0，x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）＜0，化为：（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²＜0，
则（1+k²）×$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-k²×$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+k²＜0，解得：k²≥-$\frac{12}{5}$，
综上可知：k∈R，且k≠0，
直线l的斜率k的取值范围（-∞，0）∪（0，+∞）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．