Question

10．过双曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的右焦点且斜率为k的直线，与双曲线的右支只有一个公共点，则实数k的范围为（　　）

• A． （-∞，-2]∪[2，+∞）
• B． [0，2]
• C． $[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$
• D． [-2，2]

Answer 1

分析 渐近线方程y=±2x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．

解答 解：双曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的渐近线方程y=±2x，
当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，
这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点
（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），
那么在斜率是[-2，2]两条直线之间的所有直线中，
都与双曲线右支只有一个交点．
此直线的斜率的取值范围[-2，2]．
故选：D．

点评 本题主要考查直线与双曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与双曲线的渐近线相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．